PARITE CALL-PUT

3-2 Bornes limites d’une option

L’option de call et put est une option bornée  

                     3-2-1 Bornes supérieures

  Dans une option d’achat européenne (américaine) on achète une action. Cette option ne doit pas dépasser l'action qu'elle permet d'obtenir, Alors le prix de l'option  est majoré par la valeur de l'action c'est-à-dire :

Si cette inégalité n’était pas vérifiée alors un arbitragiste va faire un bénéfice en achetant l’action et en vendant le call

L’option de vente européenne (américaine) on vend une action. Cette option ne dépasse pas le prix d'exercice alors la valeur de l’option est majorée par la somme   c'est-à-dire :

L’option de vente à la date actuelle sa valeur ne peut pas dépasser la valeur actuelle donc :

Si cette inégalité n’était pas vérifiée alors un arbitragiste fait un bénéfice de vente et en mise la somme ainsi obtenue au taux sans risque.  

                      3-2-2 Bornes inferieures

                            3-2-2-1 Bornes inferieures sans dividende :

  Dans l’option d’achat européenne sur une action sans dividende

 Soient les deux portefeuilles et constitués en t :

 : comprend un call européen et des liquidités pour un montant

 : comprend une action

A l’échéance , que vaudra  ?

, l’option sera exercée 

, l’option ne sera pas exercée 

Par suite à l’échéance  

On conclut que si on a une absence d’arbitrage

Conclusion : la valeur d’un achat européen sur une action (sans dividende) est un max de la valeur de l’action diminuée de la valeur actuelle du prix d’exercice et la valeur nulle 

Dans une vente européenne d’une action sans dividende soient deux portefeuilles suivants et constitués en t 

 comprend un put européen et une action

 comprend une somme de liquidité de montant qui sera placée au taux sans risque r

A l’échéance , que vaudra  ?

L’option sera exercée 

L’option ne sera pas exercée 

De plus on doit avoir une valeur positive de put

Conclusion : la valeur d’une vente européenne est le maximum de la valeur du prix d’exercice diminuée du prix de l’action et la valeur nul 

                                   3-2-2-2 Bornes inferieures avec  dividende

Dans l’option d’achat européenne sur une action avec dividende

 Soient les deux portefeuilles et constitués en t

comprend un call européen et des liquidités pour un montant  et des dividendes prévisionnels doivent être versés pendant le temps restant à courir jusqu'à l’échéance 

comprend une action

A l’échéance , que vaudra  ?

, l’option sera exercée 

, l’option ne sera pas exercée 

Par suite à l’échéance , le portefeuille vaudra .

On conclure que si on a une absence d’arbitrage on a

De plus on doit avoir une valeur positive

Conclusion : la valeur d’un achat européen sur une action (sans dividende) est la valeur de l’action diminuée de la valeur actuelle du prix d’exercice diminuée la valeur dividende ou nul c'est-à-dire

Dans une vente européenne d’une action avec dividende soient deux portefeuilles suivants et constitués en t 

 : comprend un put européen et une action

  : comprend une somme de liquidité de montant qui sera placée au taux sans risque r des dividendes prévisionnels devant être versés pendant le temps restant à courir jusqu'à l’échéance    

A l’échéance , que vaudra  ?

 : L’option sera exercée 

L’option ne sera pas exercée

Lorsqu’on a une absence d’opportunité d’arbitrage,      

De plus on doit avoir une valeur positive de put

Conclusion : la valeur d’une vente européenne est le maximum de la valeur du prix d’exercice diminuée du prix de l’action diminuée de la valeur du dividende et la valeur nulle