marché dinanciers

2-2 Marchés Financiers discrets

Le modèle de marché financier discret est déterminé dans un espace de probabilité filtré  où on utilise la mesure de comptage (si est finie) ou de Lebesgue (si ) et on note par la filtration que désignent les informations disponibles à l’instant et la croissance de la famille.

Si on pose par  le nombre des actifs composés par le marché financier, le prix à l’instant n est donné par la variable aléatoire noté avec est mesurable par rapport à la filtration c'est-à-dire que l’utilisateur a connaissance du cours actuel et passé mais pas du futur.

La composante désigne le prix de l’actif sans risque et s’écrit sous la forme où est le taux d’intérêt et pour simplifier le calcul on suppose que ce taux est constant et on suppose aussi que

Donc le coefficient d’actualisation s’écrit sous la forme où les actifs se basent entre la date 1 à la date m.  

                        2-2-1 Stratégie de gestion

Définition : Une stratégie de gestion est une famille   de vecteurs aléatoires  à valeurs dans  tels que :

On note le portefeuille  avec l’élément  c’est le nombre de parts de l’actif i à l’instant n+1 et tout processus vérifiant cette condition est dite « prévisible ». 

La valeur du portefeuille à cet instant est donnée par :

Donc on peut avoir la valeur actualisée comme           avec  et est le vecteur actualisé de prix

                        2-2-2 Stratégies autofinancées

Définition : Une stratégie de portefeuille autofinancée est une stratégie dynamique d'achat ou de vente d'actions et de prêts ou d'emprunts à la banque, dont la valeur n'est pas modifiée par l'ajout ou le retrait de cash.

Une stratégie de portefeuille est dite autofinancée si :

 

C'est-à-dire qu’il n’y a pas d’apports de fonds, ni de retrait d’argent et que les transactions se font sans coût. Après avoir pris connaissance des cours l’investisseur réajuste son portefeuille pour le faire passer de la composition  à la composition ,

Remarque : l’égalité  

est équivalente à   

équivalente à  

Les variations de la valeur du portefeuille ne sont dues qu’à des gains dûs à l’agitation des cours.

Proposition : Les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1.    La stratégie est autofinancée

2.          

Où  est le vecteur

3.         

Où  est le vecteur

Démonstration : On obtient les deux premières équivalences d’après ce qui précède c'est-à-dire

 Cette équivalence s’obtient en remarquant que  si et seulement si

Cette proposition montre que, pour une stratégie autofinancée, la valeur du portefeuille est complètement déterminée par la richesse initiale et le processus  des quantités d'actifs risqués détenues .

Proposition : Pour tout processus prévisible et pour toute variable aléatoire .Il existe un et un seul processus prévisible

  telle que la stratégie  soit autofinancée et de valeur initiale  

Démonstration. La condition d'autofinancement entraîne :

C’est qui détermine est prévisible

                                   2-2-3 Stratégies admissibles et arbitrages

On n'impose pas une condition sur le signe des quantités mais on impose à la valeur du portefeuille d'être positive ou nulle à tout instant.

                                               2-2-3-1 Stratégie admissible

Une stratégie  est dite admissible si elle est autofinancée et si  Cela signifie que l'investisseur doit être en mesure de rembourser ses emprunts à tout instant n.

                                               2-2-3-2 Stratégie d’arbitrage

Une opportunité d’arbitrage est une stratégie  autofinancée telle que :

·                          

·                 

C'est-à-dire On dit que dans un marché il n'y a pas d'opportunité d'arbitrage s'il est impossible de faire des profits sans prendre de risque.

            2-3 Marchés Financiers continus                              

Un modèle de marché financier continu est construit sur un espace de probabilité  muni d'une filtration  Le modèle de Black-Scholes qu'on va traiter dans la suite est un exemple de modèle de marché continu, dans lequel on détermine le marché des options c'est-à-dire on achète et on vend les options au cours de temps continu (jours, mois, années) à partir des données bien déterminées.

Skew (sticky strike, sticky delta)

On parle de skew de volatilité lorsqu’on obtient  par exemple des valeurs de volatilité implicite de valeurs des prix d’exercice petits, plus élevées que des valeurs des prix d’exercice élevés et on a deux types « sticky strike » et « sticky delta ».

·         Sticky strike : lorsque la volatilité d’une option d’un certain prix d’exercice reste inchangée lors d’un mouvement de la valeur du spot.

·         Stiky delta : étudier la quantité stable lorsque la valeur de spot changée (c'est-à-dire  La règle  de sticky delta) correspond à l’intuition dans laquelle le niveau actuel de la volatilité de l’option la plus liquide doit rester invariant même si la valeur du spot varie.

Smile de volatilité

Théoriquement lorsqu'on garde la valeur de sous-jacent on obtient la même valeur de la volatilité de marché et la volatilité de Black&Scholes mais pratiquement c'est-à-dire aux marchés ce n’est pas le cas car il dépend du prix d’exercice et de la maturité. Cette surface est appelée la surface de smile ou « sourire ».

La première fois que cette surface apparaît durant le crash d’Octobre 1987 montra qu'un grand marché pouvait baisser de 20% en une seule journée.

Smile de volatilité est construit à partir du « smile » et du « skew ».

Alors on peut distinguer deux types de notions principaux outils permettant de caractériser le smile et le skew.

la volatilité

Dans le calcul d’une option la valeur de volatilité est une valeur inobservable.

Cette valeur est définie comme la quantité de la variabilité de rendement d’un actif particulier. L’estimation de la volatilité est très délicate puisque une petite perturbation dans la valeur donne un changement dans les prix même si on garde la stabilité de l’actif sous-jacent.

La volatilité est une valeur très importante pour bénéfice des options. Par la suite si un opérateur espère une valeur de volatilité au futur plus forte que celle anticipée par le marché alors il achète les options qui estimées sous-évaluées d’après ses valeurs de volatilités puisque le pourcentage que le marché va réaliser sans erreur avant la date d’expiration donc il les revendra avec un gain mais si la valeur de volatilité qui anticipe et plus faible alors il vendra les valeurs qu’il espère surévaluées

Remarque : on n’achète et en ne vend juste que des options en achetant et vendant des valeurs de la volatilité aussi.

La volatilité est déterminée soit à partir de données de rendement historique soit à partir de données de prix de l’option et de l’inversion de la formule de Black & Scholes  donc on à 2 types de volatilité :

-           La volatilité explicite.

-           La volatilité implicite   

 Mais ces estimations ne sont pratiquement pas applicables dans le marché 

LES GRECS

        Les grecs sont les instruments de base de gestion financière des options, alors chaque grec est le taux de changement de la valeur des options dépendamment des leurs déterminants  c'est-à-dire mathématiquement on calcule les dérives partielles des options par rapport à leurs déterminants. Les grecs sont :

·         Delta

·         Thêta

·         Rho

·         Vega

Dans ce chapitre on s'intéressera plus particulièrement au Delta car il est étroitement lié au modèle de Black et Scholes.

        1 Delta d’une option

         Delta c’est la sensibilité et le taux de changement de la valeur de l’option F   à la variation du cours du sous-jacent  S

Mathématiquement c’est la pente de la courbe reliant la valeur de l’option donnée à la valeur de sous-jacent

 Et pour avoir la meilleure couverture on espère annuler la valeur de delta alors que la valeur  est variable donc cette couverture est déterminée dans un intervalle court et réajustée périodiquement.

        2 Thêta d’une option

       Le thêta d’une option permet de mesurer la sensibilité du prix de l’option par rapport à sa maturité. Il permet de calculer la valeur perdue ou gagnée suite à l’écoulement d’une période. 

      3 Rhô d’une option

      Le rho d’une option permet de calculer la sensibilité du prix de l’option par rapport au taux d’intérêt .

        4 Véga d’une option

     Le Véga d’une option permet de calculer la sensibilité du prix de l’option par rapport a la volatilité .

RESOLUTION DE L’EQUATION DE BLACK & SCHOLES

    D’après les conditions aux limites l’équation de Black & scholes admet une unique solution analytique pour résoudre cette équation. Analytiquement on utilise l’équation de la chaleur, on remarque que sous forme canonique il faut faire un changement de variable pour transformer l’équation de Black & Scholes sous la forme de l’équation de la chaleur sous sa forme canonique

et alors on a la résultat suivante :

EQUATION DE BLACK & SCHOLES

     Pour déterminer Le modèle de Black & Scholes avec une absence de dividendes  et pour résoudre ce système on a besoin de déterminer quelques hypothèses tout d’abord :

-          Le marché est parfait et sans frictions (absence de coût de transaction, d’asymétrie d’information et absence d’impôt).

-          Les ventes à découvert sont autorisées.

-          Le taux d’intérêt est supposé connu et constant au cours de temps.

-          La volatilité est supposée connue et constante.

-          Le cours de l’action suit un mouvement brownien géométrique.

-          Le titre de sous-jacent ne paye pas de dividende au cours de l’option.

-          L’arbitrage est impossible.

Les titres sont divisibles