PARITE CALL-PUT

3-2 Bornes limites d’une option

L’option de call et put est une option bornée  

                     3-2-1 Bornes supérieures

  Dans une option d’achat européenne (américaine) on achète une action. Cette option ne doit pas dépasser l'action qu'elle permet d'obtenir, Alors le prix de l'option  est majoré par la valeur de l'action c'est-à-dire :

Si cette inégalité n’était pas vérifiée alors un arbitragiste va faire un bénéfice en achetant l’action et en vendant le call

L’option de vente européenne (américaine) on vend une action. Cette option ne dépasse pas le prix d'exercice alors la valeur de l’option est majorée par la somme   c'est-à-dire :

L’option de vente à la date actuelle sa valeur ne peut pas dépasser la valeur actuelle donc :

Si cette inégalité n’était pas vérifiée alors un arbitragiste fait un bénéfice de vente et en mise la somme ainsi obtenue au taux sans risque.  

                      3-2-2 Bornes inferieures

                            3-2-2-1 Bornes inferieures sans dividende :

  Dans l’option d’achat européenne sur une action sans dividende

 Soient les deux portefeuilles et constitués en t :

 : comprend un call européen et des liquidités pour un montant

 : comprend une action

A l’échéance , que vaudra  ?

, l’option sera exercée 

, l’option ne sera pas exercée 

Par suite à l’échéance  

On conclut que si on a une absence d’arbitrage

Conclusion : la valeur d’un achat européen sur une action (sans dividende) est un max de la valeur de l’action diminuée de la valeur actuelle du prix d’exercice et la valeur nulle 

Dans une vente européenne d’une action sans dividende soient deux portefeuilles suivants et constitués en t 

 comprend un put européen et une action

 comprend une somme de liquidité de montant qui sera placée au taux sans risque r

A l’échéance , que vaudra  ?

L’option sera exercée 

L’option ne sera pas exercée 

De plus on doit avoir une valeur positive de put

Conclusion : la valeur d’une vente européenne est le maximum de la valeur du prix d’exercice diminuée du prix de l’action et la valeur nul 

                                   3-2-2-2 Bornes inferieures avec  dividende

Dans l’option d’achat européenne sur une action avec dividende

 Soient les deux portefeuilles et constitués en t

comprend un call européen et des liquidités pour un montant  et des dividendes prévisionnels doivent être versés pendant le temps restant à courir jusqu'à l’échéance 

comprend une action

A l’échéance , que vaudra  ?

, l’option sera exercée 

, l’option ne sera pas exercée 

Par suite à l’échéance , le portefeuille vaudra .

On conclure que si on a une absence d’arbitrage on a

De plus on doit avoir une valeur positive

Conclusion : la valeur d’un achat européen sur une action (sans dividende) est la valeur de l’action diminuée de la valeur actuelle du prix d’exercice diminuée la valeur dividende ou nul c'est-à-dire

Dans une vente européenne d’une action avec dividende soient deux portefeuilles suivants et constitués en t 

 : comprend un put européen et une action

  : comprend une somme de liquidité de montant qui sera placée au taux sans risque r des dividendes prévisionnels devant être versés pendant le temps restant à courir jusqu'à l’échéance    

A l’échéance , que vaudra  ?

 : L’option sera exercée 

L’option ne sera pas exercée

Lorsqu’on a une absence d’opportunité d’arbitrage,      

De plus on doit avoir une valeur positive de put

Conclusion : la valeur d’une vente européenne est le maximum de la valeur du prix d’exercice diminuée du prix de l’action diminuée de la valeur du dividende et la valeur nulle                                     

        

marché dinanciers

2-2 Marchés Financiers discrets

Le modèle de marché financier discret est déterminé dans un espace de probabilité filtré  où on utilise la mesure de comptage (si est finie) ou de Lebesgue (si ) et on note par la filtration que désignent les informations disponibles à l’instant et la croissance de la famille.

Si on pose par  le nombre des actifs composés par le marché financier, le prix à l’instant n est donné par la variable aléatoire noté avec est mesurable par rapport à la filtration c'est-à-dire que l’utilisateur a connaissance du cours actuel et passé mais pas du futur.

La composante désigne le prix de l’actif sans risque et s’écrit sous la forme où est le taux d’intérêt et pour simplifier le calcul on suppose que ce taux est constant et on suppose aussi que

Donc le coefficient d’actualisation s’écrit sous la forme où les actifs se basent entre la date 1 à la date m.  

                        2-2-1 Stratégie de gestion

Définition : Une stratégie de gestion est une famille   de vecteurs aléatoires  à valeurs dans  tels que :

On note le portefeuille  avec l’élément  c’est le nombre de parts de l’actif i à l’instant n+1 et tout processus vérifiant cette condition est dite « prévisible ». 

La valeur du portefeuille à cet instant est donnée par :

Donc on peut avoir la valeur actualisée comme           avec  et est le vecteur actualisé de prix

                        2-2-2 Stratégies autofinancées

Définition : Une stratégie de portefeuille autofinancée est une stratégie dynamique d'achat ou de vente d'actions et de prêts ou d'emprunts à la banque, dont la valeur n'est pas modifiée par l'ajout ou le retrait de cash.

Une stratégie de portefeuille est dite autofinancée si :

 

C'est-à-dire qu’il n’y a pas d’apports de fonds, ni de retrait d’argent et que les transactions se font sans coût. Après avoir pris connaissance des cours l’investisseur réajuste son portefeuille pour le faire passer de la composition  à la composition ,

Remarque : l’égalité  

est équivalente à   

équivalente à  

Les variations de la valeur du portefeuille ne sont dues qu’à des gains dûs à l’agitation des cours.

Proposition : Les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1.    La stratégie est autofinancée

2.          

Où  est le vecteur

3.         

Où  est le vecteur

Démonstration : On obtient les deux premières équivalences d’après ce qui précède c'est-à-dire

 Cette équivalence s’obtient en remarquant que  si et seulement si

Cette proposition montre que, pour une stratégie autofinancée, la valeur du portefeuille est complètement déterminée par la richesse initiale et le processus  des quantités d'actifs risqués détenues .

Proposition : Pour tout processus prévisible et pour toute variable aléatoire .Il existe un et un seul processus prévisible

  telle que la stratégie  soit autofinancée et de valeur initiale  

Démonstration. La condition d'autofinancement entraîne :

C’est qui détermine est prévisible

                                   2-2-3 Stratégies admissibles et arbitrages

On n'impose pas une condition sur le signe des quantités mais on impose à la valeur du portefeuille d'être positive ou nulle à tout instant.

                                               2-2-3-1 Stratégie admissible

Une stratégie  est dite admissible si elle est autofinancée et si  Cela signifie que l'investisseur doit être en mesure de rembourser ses emprunts à tout instant n.

                                               2-2-3-2 Stratégie d’arbitrage

Une opportunité d’arbitrage est une stratégie  autofinancée telle que :

·                          

·                 

C'est-à-dire On dit que dans un marché il n'y a pas d'opportunité d'arbitrage s'il est impossible de faire des profits sans prendre de risque.

            2-3 Marchés Financiers continus                              

Un modèle de marché financier continu est construit sur un espace de probabilité  muni d'une filtration  Le modèle de Black-Scholes qu'on va traiter dans la suite est un exemple de modèle de marché continu, dans lequel on détermine le marché des options c'est-à-dire on achète et on vend les options au cours de temps continu (jours, mois, années) à partir des données bien déterminées.